UJI ASUMSI HETEROSKEDASTISITAS DENGAN METODE WHITE, BREUSCH-PAGAN-GODFREY DAN GLEJSER

click to get the pdf version

Uji white dilakukan dengan meregresikan residual kuadrat sebagai variabel dependen dengan variabel dependen ditambah dengan kuadrat variabel independen, kemudian ditambahkan lagi dengan perkalian dua variabel independen. Prosedur pengujian dilakukan dengan hipotesis sebagai berikut:

• H₀ : Tidak mengandung indikasi heterokedastisitas
• H₁ : mengandung indikasi heterekodastisitas

Jika α = 5%, maka tolak H₀ jika obs*R-square > X² atau P-value < α.

Untuk melakukan uji white kita akan gunakan contoh data pada bahasan regresi linier berganda dengan Eviews 9, lihat bahasannya disini.

1. Jalankan langkah-langkah yang sama persis pada bahasan Regresi dengan Eviews pada bahasan sebelumnya (jika belum mengerti anda bisa melihatnya langkahnya disini)

2. Setelah didapatkan hasil analisis regresi linier berganda, anda dapat memilih di menu view - residual diagnostic - heteroscedasticity test,

setelah itu masuk ke kotak dialog heteroscedasticity test, kamu bisa pilih breusch-pagan-godfrey, glejser, ARCH, atau yang populer White test, lalu OK,

Output White test :

Dari output uji white kita peroleh nilai Prob. (chi-square) yang paling kecil adalah 0,5 masih besar dari nilai kritik α = 0,05, dengan demikian kita dapat menerima hipotesis nol (H0) bahwa model tidak mengandung masalah heteroskedastisidas.

Mari kita lihat hasil uji Breusch-Pagan-Godfrey terhadap gejala heteroskedastisitas pada model,

Uji Breusch-Pagan-Godfrey juga sama, hasilnya model tidak mengandung masalah heteroskedastisidas, nilai Prob.Chi-square yang paling kecil adalah 0,76 masih lebih kecil dari nilai kritik α = 0,05.

Gimana dengan Uji Glejser???

Output uji Glejser menunjukkan nilai Obs*R-Squared sangat signifikan sebesar 0,93, demikian juga nilai Prob.Chi-Square terkecil sebesar 0,738 masih lebih kecil dari nilai kritik α = 0,05. 

Dengan demikian ketiga uji ini menyatakan bahwa tidak ada masalah heteroskedastisitas pada model Revenue Box Office Monthly dengan variabel prediktor Biaya produksi (prodcost), biaya promosi (promotecost), dan biaya bintang film (starcost).

Read More

DETEKSI HETEROSKEDASTISITAS DENGAN PLOT RESIDUAL

click to get the pdf version

Pada bahasan sebelumnya telah dijelaskan mengenai konsep heteroskedastisitas pada model regresi yang kita jalankan, hal itu tidak akan kita bahas lagi disini, kamu bisa lihat di bahasan ini.

Seperti yang kita ketahui, ada beberapa cara untuk mengetahui residual pada model regresi kita bersifat homoskedastik atau heteroskedastik. Antara lain dengan uji white, uji park, uji breusch-pagan-godfrey, model ARCH, dan uji glejser. 

Pengujian indikasi heteroskedastisitas kali ini kita ilustrasikan dengan metode grafik/scatterplot residual. Pola residual yang mengandung masalah ini biasanya membentuk suatu pola dan tidak tersebar secara merata, dengan demikian kita dapat menduga bahwa model kita mengandung masalah heteroskedastisitas.

Pengujian metode grafik akan kita jalankan dengan bantuan software IBM SPSS versi 25, bagi yang belum punya versi terbarunya bisa beli disini.

Kita lihat lagi data box office movie sales yang pernah kita gunakan dalam bahasan regresi linier berganda (multiple), kamu bisa lihat lagi disini. Datanya adalah sebagai berikut, untuk data aslinya dalam bentuk excel bisa kamu ambil disini.

Untuk tahap pertama kita akan jalankan analisis regresi linier berganda terlebih dahulu,

Input data ke dalam SPSS dengan file - import data - excel,

Setelah mengambil data dalam bentuk excel tadi jalankan analyze - regression - linear,

Masukkan variabel dependen (Y) ke kotak dependen, dan variabel independen (X) ke kotak independen, plots di samping kanan,

dalam kotak dialog plots, masukkan residual dari persamaan yang kita miliki, untuk kolom Y adalah *ZRESID, dan untuk kolom X adalah *ZPRED, checklist normal probability plot,

lalu continue - OK, lalu akan ditampilkan outputnya,

Grafik normal probability mengikuti garis linier, artinya model yang kita peroleh signifikan,

Lihat sebaran residual pada plot residual di atas, tidak memperlihatkan suatu pola tertentu, residual tersebar merata, maka dapat kita simpulkan bahwa residual bersifat homoskedastik. Tidak cukup bukti untuk mengatakan model kita mengandung masalah heteroskedastisitas.

Berikut ini adalah contoh scatterplot residual dengan indikasi adanya masalah heteroskedastisitas, plot residual menunjukkan pola tertentu, peningkatan nilai error pada sumbu X diikuti dengan keragaman yang meningkat pada sumbu Y. (yoso)

Read More

REGRESI LOGISTIK

click to get the pdf version

Regresi linier seperti yang kita ketahui tidak dapat menyelesaikan kasus dimana variabel dependent bersifat dikotomi dan kategori dengan dua atau lebih kemungkinan (ex. sukses atau Gagal; terpilih atau tidak terpilih; lulus atau tidak lulus; melakukan pembelian atau tidak; mendapat promosi atau tidak, dan lain-lain). Regresi logistik umumnya melibatkan berbagai macam variabel prediktor baik numerik ataupun kategorik, termasuk variabel dummy. Pada regresi linier, variabel prediktor yang digunakan biasanya numerik, tetapi jika kita melibatkan campuran antara numerik maupun kategorik kita dapat menggunakan regresi logistik.

Regresi logistik membentuk persamaan atau fungsi dengan pendekatan maximum likelihood, yang memaksimalkan peluang pengklasifikasian objek yang diamati menjadi kategori yang sesuai kemudian mengubahnya menjadi koefisien regresi yang sederhana. Dua nilai yang biasa digunakan sebagai variabel dependen yang diprediksi adalah 0 dan 1 (ex. 1=berhasil, 0=gagal).

Regresi logistik menghasilkan rasio peluang (odds ratios) antara keberhasilan atau kegagalan suatu dari analisis. Dapat kita contohkan dengan seorang tokoh yang ingin menjadi presiden, akan lebih baik peluangnya jika menjadi ketua partai politik tertentu. Disini odds ratio yang dimaksud adalah seberapa besar peluang tokoh tersebut dengan mempertimbangkan variabel prediktor yang ada.

Regresi logistik akan membentuk variabel prediktor/respon (log (p/(1-p)) yang merupakan kombinasi linier dari variabel independen. Nilai variabel prediktor ini kemudian ditransformasikan menjadi probabilitas dengan fungsi logit.

Asumsi-asumsi dalam regresi logistik

• Tidak mengasumsikan hubungan linier antar variabel dependen dan independent 
• Variabel dependen harus bersifat dikotomi (2 variabel) 
• Variabel independent tidak harus memiliki keragaman yang sama antar kelompok variabel 
• Kategori dalam variabel independent harus terpisah satu sama lain atau bersifat eksklusif 
• Sampel yang diperlukan dalam jumlah relatif besar, minimum dibutuhkan hingga 50 sampel data untuk sebuah variabel prediktor (bebas).

Persamaan Regresi Logistik

Regresi logistik menghasilkan rasio peluang yang dinyatakan dengan transformasi fungsi logaritma (log), dengan demikian fungsi transformasi log ataupun ln diperlukan untuk p-value, dengan demikian dapat dinyatakan bahwa logit(p) merupakan log dari peluang (odds ratio) atau likelihood ratio dengan kemungkinan terbesar nilai peluang adalah 1, dengan demikian persamaan regresi logistik menjadi:

logit(p) = log (p/1-p) = ln (p/1-p)

dimana p bernilai antara 0-1.

Model yang digunakan pada regresi logistik adalah:

Log (P / 1 – p) = β0 + β1X1 + β2X2 + …. + βkXk

Dimana p adalah kemungkinan bahwa Y = 1, dan X1, X2, X3 adalah variabel independen, dan b adalah koefisien regresi.

Konsep Log Odds, Odds Ratio

Logit (log odds) merupakan koefisien slope (b) dari persamaan regresi. Slope disini adalah perubahan nilai rata-rata dari Y dari satu unit perubahan nilai X. Regresi logistik melihat perubahan pada nilai variabel dependen yang ditransformasi menjadi peluang, bukan nilai aslinya seperti pada regresi linier.

Sebagai ilustrasi jika nilai peluang adalah 0,25, maka nilai odds adalah 3 (25 : 75), sedangkan jika nilai peluang 50, maka nilai odds adalah 1 (50 : 50), atau jika nilai peluang 0,33, maka nilai odds adalah 2 (33 : 67) dengan total keseluruhan nilai peluang adalah 1. Nilai odds ratio biasanya dapat kita lihat pada kolom B pada ‘variables in the equation’ output SPSS.

Kecocokan Model (model fit) dan fungsi likelihood

Likelihood berarti juga peluang atau probabilitas untuk hipotesis tertentu. Seperti yang kita ketahui pada kurva regresi linier kita lihat adanya hubungan linier, peningkatan pada sumbu Y akan diikuti dengan peningkatan pada sumbu X dan sebaliknya. Tetapi pada regresi logistik dengan nilai Y antara 0 dan 1, pendekatan linier tidak bisa kita gunakan. Oleh karena itu metode maximum likelihood sangat berguna dalam menentukan kecocokan model yang tepat bagi persamaan yang kita miliki.

Hipotesis dalam regresi logistik antara lain: 

h0 = ketika persamaan regresi bernilai 0 [logit(p) = 0]. 

h1 = persamaan regresi berbeda nyata dari 0 [logit(p) ≠ 0]. 

Regresi logistik merupakan salah satu bentuk regresi non linier dimana model yang ditentukan akan mengikuti pola kurva linier seperti gambar di bawah ini.Untuk lebih detail mengenai Regresi non linier kamu bisa lihat bahasannya disini.

Regresi logistik juga menghasilkan rasio peluang (odds ratios) terkait dengan nilai setiap prediktor. Peluang (odds) dari suatu kejadian diartikan sebagai probabilitas hasil yang muncul yang dibagi dengan probabilitas suatu kejadian tidak terjadi. Secara umum, rasio peluang (odds ratios) merupakan sekumpulan peluang yang dibagi oleh peluang lainnya. Rasio peluang bagi prediktor diartikan sebagai jumlah relatif dimana peluang hasil meningkat (rasio peluang ; 1) atau turun (rasio peluang ; 1) ketika nilai variabel prediktor meningkat sebesar 1 unit.

Lebih jelasnya kita dapat mengikuti ilustrasi berikut ini:

Kita ingin mengetahui apakah berat badan (weightgain) sapi para peternak di kota elgrow bertambah signifikan atau tidak, dengan variabel prediktor adalah sex yang terdiri atas male (M) atau female (F), pemberian obat cacing (anthelmintic) secara rutin sesuai dosis yang dinyatakan dengan yes dan no, dan biaya pemeliharaan per bulan yang dinyatakan dalam US$. Kali ini kita akan menjalankan model logit menggunakan bantuan software IBM SPSS versi 23, untuk yang masih menggunakan SPSS seri di bawahnya jangan khawatir, masih kurang lebih sama koq cara aplikasinya, bagi yang belum memiliki software SPSS kamu bisa beli versi 25 yang paling baru disini.

1. tahap impor data (misalnya dari excel), Buka SPSS kamu,

file - read text data,

pada kotak dialog open data, files of type ; pilih excel, maka datanya muncul di layar, pilih lalu klik - open,

kemudian dimunculkan lagi jendela opening data, checklist seperti gambar ; ok,

data telah masuk dalam record spss, berikut adalah dataview, lihat sususannya tidak beraturan, kamu bisa atur dalam variable view:

atur label, desimal, dan lain-lain dalam variabel view,

2. Tahap Analisis,

Analyze; regression ; binary logistic,

Setelah muncul jendela logistic regression, masukkan weightgain kedalam dependen, dan variabel kategorik yaitu sex dan anthelmintic ke kotak covariates, lalu klik categorical, untuk menyesuaikan tipe data variabel kategorik, 

Di jendela define covariates variables pilih reference category first, kemudian klik changes; continue,

klik next lalu masukkan variabel kontinyu cost, ke dalam covariates, kemudian option,

kemudian continue ; ok, maka outputnya akan ditampilkan,

• Chi-Square model sebesar 18,440, angka ini menjelaskan kemampuan model dalam memprediksi variabel dependen weightgain. Dengan signifikansi 0,000 < 0,05, berarti terdapat peningkatan signifikansi dengan penambahan variabel sex, dan anthelmintic, ke dalam model. 
• -2 log likelihood menjelaskan signifikansi model layaknya R-sq pada regresi linier OLS. 
• Tabel Hosmer and Lemeshow test menunjukkan nilai penambahan signifikansi model dari konstanta, dan model sesudah ditambahkan variabel independen sex dan anthelmintic. Penambahannya cukup kecil dengan signifikansi 0,631 (>0.05). 

Kita lihat kembali pada output variables in the equation menunjukkan model sesuai hipotesis null atau model tanpa prediktor,

Output variables not in the equation menunjukkan signifikansi masing-masing variabel independen terhadap weightgain. Dari tabel dapat kita lihat bahwa variabel anthelmintic(1) memberikan peningkatan yang signifikan terhadap model (0,000), sedangkan sex(1) tidak signifikan (0,298). Tetapi secara keseluruhan signifikan terhadap perbaikan model (overall statistics, sig = 0,000).

Dari output variables in the equation persamaan yang kita peroleh adalah (lihat nilai pada kolom B) :

Log odds(weightgain) = B0 + B1*sex(1) + B2*anthelmintic(1) + B3*cost

atau dengan nilai aslinya;

Log odds(weightgain) = -3,502 + 0,116*sex(1) + 2,638*anthelmintic(1) + 0,011*cost

Jika sex(1)=1 (lihat output coding), anthelmintic(1)=1 (lihat output coding), dan cost=US$ 100, maka persamaannya menjadi:

Log odds(weightgain) = -3,502 + 0,116(1) + 2,638(1) + 0,011(100)

Log odds(weightgain) = -3,502 + 0,116 + 2,638 + 1,1 

Jika kita hilangkan log maka persamaan akan dalam bentuk eksponensial:

odds(weightgain) = e^{-3,502 + 0,116 + 2,638 + 1,1} 

Interpretasi dari Persamaan 

• Untuk setiap perubahan per unit pada variabel sex(1) (koding dummy untuk variabel M/jantan), akan meningkatkan weightgain sebesar 0,116. 
• Untuk setiap kenaikan pada variabel anthelmintic(1)sebesar 1 unit, maka akan meningkatkan weightgain sebesar 2,638. 
• Untuk setiap penambahan sebesar US$1 terhadap variabel cost, maka akan meningkatkan peluang weightgain sebesar 0,011. Dari nilai signifikansi dapat kita simpulkan bahwa variabel yang signifikan berpengaruh terhadap log odds (weightgain) adalah pemberian obat cacing secara rutin (anthelmintic(1)), dan cost dengan nilai signifikansi berturut-turut 0,02 dan 0,018 (pada tingkat signifikansi 95%).

Kemudian mari kita interpretasikan nilai exp(B) pada output variables in the equation di atas:

• Variabel sex(1) yang mengacu pada Male/Jantan, memiliki kecenderungan untuk mendapatkan pertambahan berat badan (weightgain) 1,122 kali daripada Female/betina yang menjadi kategori referensi kita (ini adalah koding dummy, dimana 0 untuk F dan 1 untuk M). 
• Variabel anthelmintic(1) yang mengacu pada yes, dimana pemberian obat cacing secara teratur dan sesuai dosis memiliki peluang sebesar 13,988 kali daripada kategori referensi kita yang mengacu pada no, dimana no dinyatakan sebagai tidak memberikan asupan obat cacing secara rutin dan sesuai dosis. variabel ini sangat signifikan mempengaruhi log odds (weightgain) dengan nilai signifikansi 0,002. 
• Variabel cost cenderung meningkatkan weightgain sebesar 0,030 kali dengan nilai signifikansi yang baik yaitu 0,018 ; 0,05.(yoso)

Read More

ANOVA FAKTORIAL

click to get pdf version

Faktorial ANOVA menguji perbedaan mean antar kelompok data berdasarkan pada dua atau lebih variabel independen, dengan variabel dependen tunggal. Faktorial ANOVA dapat melibatkan dua atau lebih data kategorik/ordinal antar subjek atau satu data interval atau rasio.

Faktorial ANOVA digunakan ketika kita ingin mempertimbangkan efek lebih dari satu faktor pada perbedaan dalam variabel dependen. Sebuah rancangan faktorial adalah desain eksperimental di mana setiap tingkat masing-masing faktor dipasangkan atau disilangkan dengan tiap tingkat setiap faktor lainnya. Dengan kata lain setiap kombinasi dari faktor-faktor tingkat disertakan dalam desain. Desain jenis ini sering digambarkan dalam sebuah tabel matriks (misal 2 x 3, dll).

Desain faktorial memungkinkan kita untuk menentukan apakah ada interaksi antara variabel bebas atau faktor yang dipertimbangkan. Interaksi menyiratkan bahwa perbedaan dalam salah satu faktor perbedaan tergantung pada faktor lain.

Ilustrasi:

Faktorial ANOVA dapat digunakan jika kita ingin mengetahui apakah jenis kelamin (pria/wanita) dan tingkat pendapatan (tinggi/rendah) mempengaruhi keputusan pembelian makanan fastfood. Data konsumsi fastfood dinyatakan dalam frekuensi kunjungan setiap tahun. Data yang diberikan adalah sebagai berikut:

Dari ilustrasi tersebut, hipotesis yang akan kita gunakan adalah:

H01 : tidak ada perbedaan yang signifikan antara tingkat pendapatan tinggi dan rendah
H02 : tidak ada perbedaan yang signifikan antara jenis kelamin pria dan wanita
H03 : tidak terjadi efek interaksi antara jenis kelamin dan jenis pekerjaan terhadap frekuensi kunjungan

Dengan SPSS 17.0 langkah-langkahnya dapat kita lakukan sebagai berikut: untuk yang belum memiliki software SPSS kamu bisa beli versi terbarunya IBM SPSS versi 25 disini.

1. Input data ke dalam worksheet SPSS seperti berikut:

2. Pilih pada menubar Analyze – General Linear Model – Univariate seperti berikut:

3. Setelah muncul kotak dialog Univariate, maka pindahkan variabel yang akan diukur (frekuensi) ke dalam kotak dependent variable dan variabel sex dan income ke dalam kotak fixed factor:

4. Kemudian klik continue, pilih plots, masukkan variabel kategorik sex dan income masing-masing ke dalam kotak horizontal axis dan separate lines seperti berikut: kemudian klik add – continue,

5. Setelah itu pilih option, masukkan variabel sex, income, dan sex*income ke dalam kotak kotak displays mean for, lalu centang descriptive statistic, observed power, dan homogeneity test seperti berikut:

6. Setelah itu klik continue dan OK, maka akan ditunjukkan output berikut:

Dari output descriptive statistics dapat kita lihat nilai mean dan standard deviasi masing-masing variabel dan totalnya.

Dari output Levene’s Test of Equality kita dapat mengetahui signifikansi model adalah sebesar 0,065 (0,065 ; 0,05), maka kita simpulkan bahwa keragaman berbeda signifikan dan model tidak homogen.

Dari output dependent variable: Frequency dapat kita lihat bahwa efek Sex dan Interaksi variabel Sex*Income memiliki nilai p-value (sig. > 0,05) berarti bahwa tidak ada interaksi yang signifikan antara variabel Sex dan Income dalam hubungannya terhadap frekuensi kunjungan ke gerai fastfood.

Efek yang signifikan terhadap frekuensi kunjungan hanya Income dengan nilai p-value (sig. > 0,05), ini menunjukkan bahwa tingkat pendapatan berpengaruh signifikan terhadap kunjungan ke gerai fastfood.

Sedangkan Sex tidak menunjukkan signifikansi yang mempengaruhi kunjungan dengan nilai p-value = 0,562 (0,562 < 0,05).
 

Plot yang diperoleh tidak menunjukkan adanya interaksi hubungan antara jenis kelamin (sex) dengan tingkat pendapatan (income) yang mempengaruhi kunjungan ke gerai fastfood, karena garis tidak bertemu (berinteraksi).(yoz)

Read More

MODEL PEMROGRAMAN LINIER DAN APLIKASINYA

click to get the pdf version

Banyak masalah-masalah praktis dalam riset operasi dapat dinyatakan sebagai masalah pemrograman linear. Beberapa kasus khusus linear programming, seperti masalah aliran jaringan dan aliran multi-komoditas yang dianggap cukup penting untuk diteliti dengan suatu algoritma khusus untuk meraih solusi. 

Sejumlah algoritma untuk masalah optimisasi lain dioperasikan dengan memecahkan masalah LP sebagai sub-masalah. Secara historis, ide-ide dari pemrograman linear telah menginspirasi banyak konsep pusat teori optimisasi, seperti dualitas, dekomposisi, dan pentingnya kecembungan dan generalisasi. Demikian pula, linear programming banyak digunakan dalam ekonomi mikro dan manajemen perusahaan, seperti perencanaan, produksi, pengangkutan, teknologi dan isu-isu lainnya. 

Walaupun isu-isu manajemen modern yang selalu berubah, sebagian besar perusahaan ingin memaksimalkan keuntungan atau meminimalkan biaya dengan sumber daya yang terbatas. Oleh karena itu, banyak hal dapat dikategorikan menjadi masalah pemrograman linear.

Pemrogramanlinier adalah metode sederhana dimana kita menyederhanakan hubungan yang kompleks antar fungsi linier dengan demikian kita dapat menemukan solusi yang optimal. Contohnya dalam kehidupan sehari-hari adalah ketika kita memilih rute yang paling cepat untuk menuju ke kantor.

Contoh lain adalah sistem delivery barang perusahaan kepada konsumen yang tidak efisien waktu maupun biaya, oleh karena itu kita sederhanakan dengan beberapa penyesuaian agar lebih efisien, nah itulah beberapa jenis pemrograman linier yang tanpa kita sadari juga kita lakukan sehari-hari.

Mari kita ilustrasikan dengan gambar :

Lihat, tukang antar paket ekspedisi JNG (lucu ya namanya, singkatan dari 'jangan' kali ya) kebingungan akan menuju arah mana, lalu ke mana dan ke mana. Jadi atasannya akan menghitung beberapa kombinasi rute yang tepat, dalam arti paling efisien bensin, dan efisien waktu. 

Pada kasus ini, sasaran tukang antar paket tersebut akan diberikan rute terbaik yang disebut Penelitian Operasi (operation research). Penelitian Operasi adalah pendekatan terhadap pengambilan keputusan dengan melibatkan satu atau lebih metode untuk menjalankan sebuah sistem, sistem yang kita bahas adalah sistem delivery. Bisa juga dalam contoh lain sistem shipping, sistem pemeliharaan, sistem perkebunan, dan lain-lain. Tujuannya tetap satu yaitu membuat metode yang efisien untuk segala aspek.

Ilustrasi Sederhana Untuk Pemodelan :

Butik “Diorama” menjual 2 jenis batik tulis untuk seluruh produk bajunya, yaitu batik cirebon dan batik Kendal (emang ada???ga apa deh), untuk produksi batik Cirebon memerlukan 2 gelas lilin batik dan 1 gelas zat pewarna, sedangkan batik kendal menghabiskan 3 gelas lilin batik dan 2 gelas zat pewarna. 

Dapur produksi Butik “Diorama” memiliki bahan baku 18 gelas lilin batik dan 10 gelas zat pewarna, sedangkan keuntungan yang diperoleh dalam penjualan batik adalah sebagai berikut : 

Rp, 50.000,- setiap menjual batik Cirebon 

Rp, 60.000,- setiap menjual batik Kendal 

Untuk memaksimalkan keuntungan, berapa banyak produk yang harus dihasilkan antara Batik Cirebon dan Batik Kendal??? 

Pertama kita susun terlebih dahulu tabel dari data secara keseluruhan. 

	Lilin batik	Zat pewarna	Profit per unit
Batik Cirebon	2	1	50000
Batik Kendal	3	3	60000
Total Bahan	18	10

Kita nyatakan total produksi unit Batik Cirebon sebagai X, dan total produksi unit Batik Kendal sebagai Y, serta total profit per unit sebagai Z. 

Total Keuntungan maksimal dari kedua produk dapat dinyatakan sebagai : 

Zmax = 50.000X + 60.000Y 

Persamaan untuk lilin batik yang digunakan untuk produksi Batik Cirebon dan Batik Kendal dengan total bahan 18 adalah : 

2X + 3Y < 18 

Persamaan untuk zat pewarna yang digunakan untuk produksi Batik Cirebon dan Batik Kendal dengan total bahan 10 adalah : 

X + 3Y < 10 

Maka jika menggunakan lilin batik untuk memproduksi 3 unit batik Cirebon, maka tinggal 4 unit batik Kendal yang bisa kita produksi dengan persamaan di atas. 

Dengan batasan : 

X > 0 dan Y > 0 

Maka untuk memaksimalkan keuntungan, model Matematika di atas dapat diterapkan oleh Butik “Diorama”.

Beberapa komponen penyusun Pemrograman Linier antara lain :

• Variabel Keputusan ; variabel yang akan menentukan output. Biasa dinyatakan dengan X, Y, Z, atau apa saja,
• Fungsi Objektif ; adalah sasaran dalam pengambilan keputusan, jika perusahaan ingin memaksimalkan keuntungan dengan notasi Z, maka keuntungan adalah fungsi objektif. Lain halnya jika ingin mengejar target produksi, maka jumlah output produksi merupakan fungsi objektif.
• Constraints ; adalah batasan pada variabel keputusan. Biasanya batas nilai dari variabel keputusan. Misalnya dalam proses produksi, jumlah bahan baku adalah pembatas untuk melakukan produksi.
• Batasan Non-Negatif ; dalam pemrograman linier, variabel keputusan tidak boleh bernilai negatif, seharusnya lebih besar dari 0.

Ketika variabel keputusan, fungsi objektif, dan constraints terpenuhi serta bisa disusun dalam bentuk fungsi linier, maka permasalahan ini dapat dimasukkan ke dalam kategori permasalahan pemrograman linier.

Ilustrasi Pemrograman Linier :

Misalkan seorang petani memiliki sebidang tanah pertanian, misalnya seluas 120 hektar, yang akan ditanam dengan gandum atau kedelai atau kombinasi dari keduanya. 

Petani hanya memiliki modal yang terbatas, yaitu Rp. 10.000.000,- pupuk NPK (P) dalam jumlah terbatas yaitu 1.400 kg,

Misalkan keuntungan penjualan kedelai per adalah Rp.60.000,- dan gandum adalah Rp.120.000,- 

Maka dengan tabel, nilai yang diketahui

:

Varietas	Keuntungan/Ha	Biaya/Ha	Pupuk/Ha
Kedelai	60	100	10
Gandum	120	200	30

Total Area Penanaman Kedelai = X (hektar)

Total Area Penanaman Gandum = Y (hektar)

Maka X dan Y adalah variabel keputusan.

Fungsi Objektif Petani adalah memaksimalkan keuntungan, dengan keuntungan dinyatakan sebagai Z, maka

Max Z = 60X + 120Y

Constraints yang dihadapi adalah biaya tanam dan pupuk, maka jika petani hanya memiliki modal sebesar Rp.10.000,- :

100X + 200Y < 10.000

Constraints selanjutnya adalah jumlah pupuk yang dimiliki sebesar 2 ton :

10X + 30Y < 1.000

Constraints terakhir adalah jumlah lahan tersedia hanya 120 Hektar :

X + Y < 120

Batasan non-negatif dari persamaan di atas adalah :

X > 0, Y > 0

Berikutnya kita akan menyelesaikan kasus di atas dengan grafik.

Kita sederhanakan terlebih dahulu persamaannya seperti berikut :

Constraints 1 :

100X + 200Y < 10.000 / 100

Maka :

X + 2Y < 100

Constraints 2 :

10X + 30Y < 1.400 / 10

Maka :

X + 3Y < 140

Constraints 3 sudah dalam bentuk sederhana :

X + Y < 120

Kita Plot Ke dalam Grafik :

Setelah kita plot grafik untuk ketiga persamaan, maka slope masing-masing persamaan kita hubungkan, maka solusi optimal bagi petani berdasarkan plot adalah pada axis 45 dan ordinat 27.

Jadi untuk memaksimalkan profit petani dapat menanami kedelai seluas 45 Hektar dan Gandum seluas 27 Hektar.

Profit Maksimal yang dapat diperoleh adalah :

Max Z = 60X + 120Y

Max Z = 60 (45) + 120 (27)

Max Z = 2.700 + 3.240

Max Z = 5.940 (dalam ribuan Rupiah)

Read More