click to get the pdf version
Banyak masalah-masalah praktis dalam riset operasi dapat dinyatakan sebagai masalah pemrograman linear. Beberapa kasus khusus linear programming, seperti masalah aliran jaringan dan aliran multi-komoditas yang dianggap cukup penting untuk diteliti dengan suatu algoritma khusus untuk meraih solusi.
Sejumlah algoritma untuk masalah optimisasi lain dioperasikan dengan memecahkan masalah LP sebagai sub-masalah. Secara historis, ide-ide dari pemrograman linear telah menginspirasi banyak konsep pusat teori optimisasi, seperti dualitas, dekomposisi, dan pentingnya kecembungan dan generalisasi. Demikian pula, linear programming banyak digunakan dalam ekonomi mikro dan manajemen perusahaan, seperti perencanaan, produksi, pengangkutan, teknologi dan isu-isu lainnya.
Walaupun isu-isu manajemen modern yang selalu berubah, sebagian besar perusahaan ingin memaksimalkan keuntungan atau meminimalkan biaya dengan sumber daya yang terbatas. Oleh karena itu, banyak hal dapat dikategorikan menjadi masalah pemrograman linear.
Pemrogramanlinier adalah metode sederhana dimana kita menyederhanakan hubungan yang
kompleks antar fungsi linier dengan demikian kita dapat menemukan solusi yang
optimal. Contohnya dalam kehidupan sehari-hari adalah ketika kita memilih rute
yang paling cepat untuk menuju ke kantor.
Contoh
lain adalah sistem delivery barang perusahaan kepada konsumen yang tidak
efisien waktu maupun biaya, oleh karena itu kita sederhanakan dengan beberapa
penyesuaian agar lebih efisien, nah itulah beberapa jenis pemrograman linier
yang tanpa kita sadari juga kita lakukan sehari-hari.
Lihat, tukang antar paket ekspedisi JNG (lucu ya namanya, singkatan dari 'jangan' kali ya) kebingungan akan menuju arah mana, lalu ke mana dan ke mana. Jadi atasannya akan menghitung beberapa kombinasi rute yang tepat, dalam arti paling efisien bensin, dan efisien waktu.
Pada kasus ini, sasaran tukang antar paket tersebut akan diberikan rute terbaik yang disebut Penelitian Operasi (operation research). Penelitian Operasi adalah pendekatan terhadap pengambilan keputusan dengan melibatkan satu atau lebih metode untuk menjalankan sebuah sistem, sistem yang kita bahas adalah sistem delivery. Bisa juga dalam contoh lain sistem shipping, sistem pemeliharaan, sistem perkebunan, dan lain-lain. Tujuannya tetap satu yaitu membuat metode yang efisien untuk segala aspek.
Ilustrasi Sederhana Untuk Pemodelan :
Butik “Diorama” menjual 2 jenis batik tulis untuk seluruh produk bajunya, yaitu batik cirebon dan batik Kendal (emang ada???ga apa deh), untuk produksi batik Cirebon memerlukan 2 gelas lilin batik dan 1 gelas zat pewarna, sedangkan batik kendal menghabiskan 3 gelas lilin batik dan 2 gelas zat pewarna.
Dapur produksi Butik “Diorama” memiliki bahan baku 18 gelas lilin batik dan 10 gelas zat pewarna, sedangkan keuntungan yang diperoleh dalam penjualan batik adalah sebagai berikut :
Rp, 50.000,- setiap menjual batik Cirebon
Rp, 60.000,- setiap menjual batik Kendal
Untuk memaksimalkan keuntungan, berapa banyak produk yang harus dihasilkan antara Batik Cirebon dan Batik Kendal???
Pertama kita susun terlebih dahulu tabel dari data secara keseluruhan.
Lilin batik
|
Zat pewarna
|
Profit per unit
|
|
Batik
Cirebon
|
2
|
1
|
50000
|
Batik
Kendal
|
3
|
3
|
60000
|
Total
Bahan
|
18
|
10
|
Kita nyatakan total produksi unit Batik Cirebon sebagai X, dan total produksi unit Batik Kendal sebagai Y, serta total profit per unit sebagai Z.
Total Keuntungan maksimal dari kedua produk dapat dinyatakan sebagai :
Zmax = 50.000X + 60.000Y
Persamaan untuk lilin batik yang digunakan untuk produksi Batik Cirebon dan Batik Kendal dengan total bahan 18 adalah :
2X + 3Y < 18
Persamaan untuk zat pewarna yang digunakan untuk produksi Batik Cirebon dan Batik Kendal dengan total bahan 10 adalah :
X + 3Y < 10
Maka jika menggunakan lilin batik untuk memproduksi 3 unit batik Cirebon, maka tinggal 4 unit batik Kendal yang bisa kita produksi dengan persamaan di atas.
Dengan batasan :
X > 0 dan Y > 0
Maka untuk memaksimalkan keuntungan, model Matematika di atas dapat diterapkan oleh Butik “Diorama”.
Beberapa komponen penyusun Pemrograman Linier antara lain :
- Variabel Keputusan ; variabel yang akan menentukan output. Biasa dinyatakan dengan X, Y, Z, atau apa saja,
- Fungsi Objektif ; adalah sasaran dalam pengambilan keputusan, jika perusahaan ingin memaksimalkan keuntungan dengan notasi Z, maka keuntungan adalah fungsi objektif. Lain halnya jika ingin mengejar target produksi, maka jumlah output produksi merupakan fungsi objektif.
- Constraints ; adalah batasan pada variabel keputusan. Biasanya batas nilai dari variabel keputusan. Misalnya dalam proses produksi, jumlah bahan baku adalah pembatas untuk melakukan produksi.
- Batasan Non-Negatif ; dalam pemrograman linier, variabel keputusan tidak boleh bernilai negatif, seharusnya lebih besar dari 0.
Ketika variabel keputusan, fungsi objektif, dan constraints terpenuhi serta bisa disusun dalam bentuk fungsi linier, maka permasalahan ini dapat dimasukkan ke dalam kategori permasalahan pemrograman linier.
Ilustrasi Pemrograman Linier :
Misalkan seorang petani memiliki sebidang tanah pertanian, misalnya
seluas 120 hektar, yang akan ditanam dengan gandum atau kedelai atau
kombinasi dari keduanya.
Petani hanya memiliki modal yang terbatas, yaitu Rp. 10.000.000,- pupuk
NPK (P) dalam jumlah terbatas yaitu 1.400 kg,
Misalkan keuntungan penjualan kedelai per adalah Rp.60.000,- dan
gandum adalah Rp.120.000,-
Maka dengan tabel, nilai yang diketahui
:
Varietas
|
Keuntungan/Ha
|
Biaya/Ha
|
Pupuk/Ha
|
Kedelai
|
60
|
100
|
10
|
Gandum
|
120
|
200
|
30
|
Total Area Penanaman Kedelai = X (hektar)
Total Area Penanaman Gandum = Y (hektar)
Maka X dan Y adalah variabel keputusan.
Fungsi Objektif Petani adalah memaksimalkan
keuntungan, dengan keuntungan dinyatakan sebagai Z, maka
Max Z = 60X + 120Y
Constraints yang dihadapi adalah biaya tanam dan
pupuk, maka jika petani hanya memiliki modal sebesar Rp.10.000,- :
100X + 200Y <
10.000
Constraints selanjutnya adalah jumlah pupuk yang dimiliki sebesar 2 ton :
10X
+ 30Y < 1.000
Constraints terakhir adalah jumlah lahan tersedia hanya 120 Hektar :
X +
Y < 120
Batasan non-negatif dari persamaan di atas adalah :
X >
0, Y > 0
Berikutnya kita akan menyelesaikan kasus di atas dengan grafik.
Kita sederhanakan terlebih dahulu persamaannya seperti berikut :
Constraints 1 :
100X + 200Y < 10.000 / 100
Maka :
X + 2Y < 100
Constraints 2 :
10X + 30Y < 1.400 / 10
Maka :
X + 3Y < 140
Constraints 3 sudah dalam bentuk sederhana :
X + Y < 120
Kita Plot Ke dalam Grafik :
Setelah kita plot grafik untuk ketiga persamaan, maka slope masing-masing persamaan kita hubungkan, maka solusi optimal bagi petani berdasarkan plot adalah pada axis 45 dan ordinat 27.
Jadi untuk memaksimalkan profit petani dapat menanami kedelai seluas 45 Hektar dan Gandum seluas 27 Hektar.
Profit Maksimal yang dapat diperoleh adalah :
Max Z = 60X + 120Y
Max Z = 60 (45) + 120 (27)
Max Z = 2.700 + 3.240
Max Z = 5.940 (dalam ribuan Rupiah)
