MENGHITUNG KERAGAMAN SAMPEL DAN STANDAR DEVIASI

Apa itu Standar Deviasi??

Standar Deviasi mengukur sebaran data diantara nilai mean. Jika kamu ingin membandingkan beberapa data yang memiliki mean yang sama tetapi dalam rentang berbeda, standar deviasi bisa digunakan, misalnya mean dari dua sebaran data adalah sama, tetapi salah satu kelompok data lebih tersebar rentangnya, maka ia dikatakan memiliki ilai standar deviasi yang tinggi, sebaliknya jika rentang antara data dalam kelompok adalah kecil, maka nilai standar deviasinya akan rendah.

Bagaimana menghitung Standar Deviasi??

Formula baku untuk menghitung standar deviasi adalah sebagai berikut :

Ilustrasi :
Nilai ujian matematika dari 10 siswa adalah :

9  5  7  7  6  5  4  8  9  10  5  7  8  5  4  4  3  7  10  9

Hitunglah standar deviasinya......

Jawab.

1. Untuk menghitung standar deviasi kita perlu mencari mean terlebih dahulu,

2. Kemudian kita akan mencari formula untuk (x_i – μ²) dengan cara mengurangkan x_i dengan mean (μ) lalu kita kuadratkan,

x₁ = (9 – 6,6)² = (2,4)² = 5,76

x₂ = (5 – 6,6)² = (-1,6)² = 2,56

x₃ = (7 – 6,6)² = (0,4)² = 0,16

x₄ = (7 – 6,6)² = (0,4)² = 0,16

x₅ = (6 – 6,6)² = (0,6)² = 0,36

x₆ = (5 – 6,6)² = (-1,6)² = 2,56

x₇ = (4 – 6,6)² = (-2,6)² = 6,76

x₈ = (8 – 6,6)² = (1,4)² = 1,96

x₉ = (9 – 6,6)² = (2,4)² = 5,76

x₁₀ = (10 – 6,6)² = (3,4)² = 11,56

x₁₁ = (5 – 6,6)² = (-1,6)² = 2,56

x₁₂ = (7 – 6,6)² = (0,4)² = 0,16

x₁₃ = (8 – 6,6)² = (1,4)² = 1,96

x₁₄ = (5 – 6,6)² = (-1,6)² = 2,56

x₁₅ = (4 – 6,6)² = (-2,6)² = 6,76

x₁₆ = (4 – 6,6)² = (-2,6)² = 6,76

x₁₇ = (3 – 6,6)² = (-3,6)² = 12,96

x₁₈ = (7 – 6,6)² = (0,4)² = 0,16

x₁₉ = (10 – 6,6)² = (3,4)² = 11,56

x₂₀ = (9 – 6,6)² = (2,4)² = 5,76

Maka hasil yang kita peroleh :

5,76   2,56   0,16   0,16   0,36   2,56   6,76   1,96   5,76   11,56   2,56   0,16   1,96   2,56   6,76   6,76   12,96   0,16   11,56   5,76

3. Setelah menghitung formula (x_i – μ²) di atas, kita akan jumlahkan semua nilai yang kita peroleh pada langkah 2,

5,76+2,56+0,16+0,16+0,36+2,56+6,76+1,96+5,76+11,56+2,56+0,16+1,96+2,56+6,76+6,76+12,96+ 0,16+11,56+5,76 = 88,8

4. Kita masukkan rumus berikut ini :

= 1/20 * 88,8 = 4,44

Nilai yang kita peroleh dari langkah 4 ini adalah 4,44, kita kenal juga sebagai keragaman sampel (sample variance).

5. Kemudian mencari nilai standar deviasi kita tinggal cari akar kuadrat dari nilai keragaman sampel,

dengan demikian nilai standar deviasi yang kita peroleh dari nilai 20 siswa tersebut adalah 2,11.(yoso)

Read More

REGRESI NON LINIER DENGAN PROSEDUR ESTIMASI KURVA

click to get the pdf version

Model regresi linier yang kita ketahui dalam pemodelan variabel dependen (Y) dengan beberapa variabel independen (X) adalah seperti berikut ;

Y = b0 + b1X1 + b2X2 + b3X3 + .... + bnXn

Kalau kita plotkan grafik dalam bentuk scatterplot bisa kita lihat pola sebaran data variabel independen mengikuti garis linier terhadap variabel dependen,

Kita lihat plot residual untuk regresi linier, tersebar secara merata, ini merupakan asumsi dari regresi linier,

Berikut ini adalah model regresi Non Linier secara umum;

Y =𝑓(X1, β1) + 𝜀

dimana : 

Y = variabel dependen yang akan digunakan untuk menghitung pemodelan
f = fungsi dari model regresi
X1 = vektor variabel bebas (independen)
β1 = vektor parameter yang belum diketahui
𝜀 = residual atau error

Asumsi dalam persamaan regresi non linier :

• Error terdistribusi secara normal,
• Keragaman bersifat homogen (Var(ϵ_i) = σ² untuk ∀_i)
• Error independen (Cov(ϵ_i, ϵ_j) = 0 untuk ∀_{i, j})

Beberapa persamaan lain yang biasa digunakan untuk Regresi Non Linier :

• Von Bertalanffy-Richard

• Michaelis-Menten

• Model Logistik

Regresi non linier menggunakan estimator model kuadrat terkecil (least square) non linier untuk membuat estimasi terhadap parameter. Seperti halnya estimator model kuadrat terkecil regresi linier, estimator NLS berguna untuk meminimalkan jumlah sum of squared errors (SSE). Formulanya seperti berikut ini :

Estimator NLS terhadap β adalah :

dimana :

X* adalah matriks turunan parsial dari model terkait dengan parameter

Parameternya dihitung secara terus menerus dengan persamaan tersebut hingga mendapatkan nilai SSE yang paling kecil. Prosedur ini dikenal sebagai iterasi.

Contoh scatterplot pola non linier adalah seperti gambar berikut ini :

Bagaimana menentukan model non linier untuk data yang kita miliki, kita akan lakukan prosedur curve fit pada SPSS versi 25, bagi yang belum punya softwarenya bisa beli disini.

Kita memiliki data efek waktu pemasangan iklan terhadap penjualan produk kosmetik "BELLA LUNA", waktu pemasangan iklan dinyatakan dalam bulan, sedangkan variabel bebas kita gunakan nilai penjualan sesaat setelah iklan berhenti ditayangkan atau masih ditayangkan.

Nilai negatif (-) mengindikasikan bulan sesudah iklan ditayangkan terhadap waktu penjualan, nilai 0 mengindikasikan waktu penayangan iklan pada bulan yang sama dengan penjualan, sedangkan nilai positif (+) mengindikasikan waktu iklan masih tayang setelah penjualan. Nilai penjualan dinyatakan dalam Ribuan Dollar US.

Data xls nya dapat kamu ambil disini,

 

Untuk mengambil data dari excel, seperti biasa kita pilih File - Import Data - Excel,

Pilih data kamu, open,

dan sudah masuk ke dalam jendela IBM SPSS versi 25,

Untuk prosedur curve fitting di IBM SPSS versi 25 kita dapat masuk ke tab Analyze - Regression - Curve Estimation,

Masukkan pada kotak dialog curve estimation, variabel dependen Sales, dan variabel independen month, kita coba dulu plotkan kurva linier,

Hasilnya,

Mari kita lihat nilai R-square = 0,001, dan nilai signifikansi sangat tidak signifikan, 0,916 lebih besar dari nilai kritik α = 0,05, sangat mengerikan bukan??lebih lagi plot datanya,

Oleh karena itu kita akan coba model lain, 

Hasilnya ;

Baik model kubik maupun kuadratik sama signifikan, pilih aja model yang paling simpel yaitu kuadratik, dengan demikikan model regresi non linier yang kita peroleh sesuai koefisien regresi adalah ;

Y = 216,8 + 2,53X1 - 4,87X2

Persamaan regresi yang kita peroleh mengikuti pola parabola (kuadratik), karena persamaan inilah yang menjelaskan model non linier yang paling baik.(yoso)

Read More

REGRESI LINIER BERGANDA (MULTIPLE) DENGAN SPSS

click to get the pdf version

Ketika kita menghadapi suatu kasus dengan data dengan banyak variabel, satu pertanyaan yang penting adalah bagaimana variabel-variabel tersebut berhubungan. Misalnya kita akan mempertanyakan bagaimana hubungan antara harapan hidup (life expectancy) dengan fertility rate, fasilitas kesehatan yang tersedia, atau jumlah migrasi keluar ataupun masuk ke suatu negara.

Regresi adalah teknik untuk mengukur hubungan, ya itu aja, hubungan antar variabel satu terhadap variabel lain yang dipengaruhinya. Singkatnya, Analisis Regresi memungkinkan kita untuk :

• Menjelaskan hubungan antara variabel terikat (dependen) dan variabel bebas (independen), variabel terikat biasanya hanya satu, tapi dalam regresi linier berganda (multiple), variabel bebasnya bisa banyak,
• Menghitung nilai variabel terikat dari nilai variabel bebas yang kita amati, biasanya dalam bentuk model,
• Memperkirakan faktor risiko yang mempengaruhi suatu hasil dapat diidentifikasi, sehingga proyeksi dapat dilakukan.

Regresi linier digunakan untuk mempelajari hubungan, lebih tepatnya hubungan linier antara variabel terikat (Y) dengan variabel bebas (X). Variabel terikat (Y) harus berupa data kontinyu, sedangkan variabel bebasnya (X) bisa saja kontinyu, biner, atau kategorik.

Penilaian awal dari hubungan yang mungkin antara dua variabel kontinyu harus digambarkan terlebih dahulu dengan plot grafik, bisa dalam bentuk scatter ataupun line, dan harus terdapat pola hubungan linier yang ditunjukkan kedua variabel tersebut.

Diagram Scatter yang menunjukkan pola hubungan linier

Pada banyak kasus, satu variabel bebas tidak dapat banyak menjelaskan variabel terikat Y. Jika terjadi hal seperti itu, kita dapat melakukan analisis regresi linier berganda (multiple) untuk mempelajari efek dari banyak variabel bebas (X1, X2, X3,....Xn) terhadap satu variabel terikat Y.

Dalam regresi linier berganda (multiple) variabel terikat dijelaskan sebagai fungsi linier dari variabel bebas Xi dengan persamaan seperti berikut ini :

Y = b0 + b1X1 + b2X2 + b3X3 + ...... + bnXn

dimana :

Y = variabel terikat (dependen),

b0 = konstanta / slope,

b1 = koefisien regresi

X1, X3, X3,...Xn = variabel bebas (independen).

Sebelum Masuk ke ilustrasi ada beberapa hal yang perlu diperhatikan sebelum melakukan Analisis Regresi Linier Berganda ini diantaranya,

1. Hubungan kausal antara variabel terikat dan bebas harus dipertimbangkan terlebih dahulu berdasarkan sumber teori atau penelitian terdahulu yang sudah ada. Apa artinya jika anda mengatakan banyaknya titik api di Kalimantan pada musim kemarau disebabkan oleh meningkatnya penjualan korek api, dan kebiasaan merokok oleh para pekerja perkebunan. Padahal teori atau penelitian lain mengatakan titik api disebabkan oleh maraknya pembakaran lahan oleh oknum-oknum yang tidak bertanggung jawab, dan kurangnya antisipasi pemerintah terhadap musim kemarau yang akan datang. Ga nyambung kan jadinya??plis deehh,,karena itu penentuan variabel yang tepat akan mempengaruhi hasil analisis yang kamu peroleh.
2. Jumlah Sampel, Beberapa kasus biasanya menekankan pada kekuatan hubungan antara variabelnya, bayangkan jika kamu melakukan analisis regresi dengan jumlah sampel yang sangat kecil, atau ada salah satu variabel kamu yang ga relevan, maka hasilnya akan memperlihatkan indikator analisis yang kurang baik. Disini kamu bisa melihat nilai R2 atau koefisien determinasi, biasanya nilai corrected koefisien determinasi menentukan kekuatan hubungan variabel bebas dengan variabel terikat yang kamu gunakan.
3. Missing Value, biasa aja kejadian data bolong-bolong gini, tapi hal ini dapat mempengaruhi kekuatan prediksi kalian. Bayangkan jika dalam 100 sampel ada nilai yang hilang sebanyak 13, model yang didapatkan akhirnya jadi tidak applicable atau practical. Teknik terakhir bagi para mahasiswa ataupun para peneliti yang ga mau repot menambahkannya dengan tebak-tebak berhadiah. Walaupun demikian ada beberapa cara yang dapat digunakan untuk mengatasi hal missing value ini, akan saya jelaskan di bagian lain blog ini.

Ilustrasi contoh:

Seandainya kita ingin melihat hubungan antara variabel dependen (Y) Nilai penjualan film box office di negara A, dalam juta dollar, dengan 3 prediktor (X) antara lain; nilai produksi (prodcost), nilai promosi (promotecost), dan bayaran bintang film (starcost), dalam juta dollar, maka akan kita terapkan persamaan berikut ini:

Y = β0 + β₁X₁ + β₂X₂ + β₃X₃ + ε

Coba lihat datanya berikut ini, untuk data aslinya dalam bentuk excel (xls) sebagai latihan kamu bisa ambil disini.

Bahasan kali ini kita coba menggunakan bantuan perangkat lunak IBM SPSS versi 25, bagi yang belum punya, atau versinya udah lama, bisa beli disini. Murah koq, cuma Rp.50.000, bisa langsung digunakan juga.

Untuk impor data dari excel kita tinggal pilih file - import data - excel,

Cari File excel kamu tadi, klik - open,

Sekarang kita sudah masuk dalam jendela SPSS versi 25, untuk mengubah nilai desimal di belakang koma bisa di variable view, set aja 2 angka di belakang koma,

Mari kita lihat hubungan linier antar variabel dengan grafik scatterplot, kamu bisa masuk ke Graphs - Chart Builder,

Dalam kotak dialog chart builder, silahkan pilih model plot di bawah, kemudian tarik aja ke area blank di atasnya untuk menampilkan model grafik,

Untuk melihat plot antara Revenue (Y) dengan variabel ProdCost (X1) silahkan masukkan Revenue (Y) ke axis, dan ProdCost (X1) ke ordinat, trus klik OK,

Hasil plot hubungan linier antara Revenue (Y) dengan ProdCost (X1) adalah seperti berikut, buka aja di output SPSS versi 25,

Nah kira-kira adakah hubungan liniernya? lihat juga nilai koefisien determinasi (R2) di pojok kanan atas adalah 0,692, cukup baik ya hubungan liniernya,

Lakukan juga hal yang sama untuk variabel PromoteCost (X2) dan StarCost (X3),

Hasil plot hubungan linier antara Revenue (Y) dengan PromoteCost(X2) adalah seperti berikut,

Hubungan Revenue (Y) dengan PromoteCost (X2) ternyata lebih baik daripada ProdCost (X1), lihat koefisien determinasi di pojok kanan atas, R2 = 0,707,

Terakhir Hasil plot hubungan linier antara Revenue (Y) dengan StarCost (X3) adalah seperti berikut, Kebayang aja kalau bintang filmnya Mas Chris Evans atau Mbak Natalie Portman, biasanya mah revenuenya besar ya \0/,

Ah, ga ngaruh juga, ternyata hubungan linier antara Revenue (Y) dengan StarCost (X3), tidak bersifat linier, lihat nilai R2 hanya 0,153, tapi kita akan teruskan saja sebagai ilustrasi,

Sekarang kita masuk ke tahap analisis, oya untuk variabel starcost (X3) kamu bisa drop aja kalau ketemu kasus seperti ini, atau kamu bisa menggantinya dengan variabel lain yang lebih relevan, baca lagi penelitian terdahulu atau perdalam kembali teori terkait penelitian yang kamu lakukan,

Untuk meregresikan variabel ini, cukup masuk ke tab Analyze - Regression - Linear,

Masukkan variabel sesuai tempatnya,

Pilih Statistics, di samping kanan atas, checklist seperti gambar berikut ini; lalu continue - OK,

Perlu diketahui Colinearity diagnostic untuk melihat masalah multikolinearitas, dan durbin watson untuk melihat masalah autokorelasi dalam regresi, bahasan lain tentang masalah multikolinearitas dan autokorelasi bisa kamu lihat disini.

Output yang diperoleh dari analisis regresi linier berganda kali ini,

Lihat model Summary dengan adjusted R-square yang baik sebesar 0,811, ini mengindikasikan pemilihan variabel bebas sudah baik terhadap variabel terikat, nilai signifikansi juga 0,000 kurang dari 0,05 mengindikasikan secara keseluruhan model baik.

Nilai Durbin Watson sebesar 2,328 mengindikasikan bahwa tidak terdapat masalah autokorelasi pada data sampel, baca lagi mengenai statistik durbin watson disini.

Pada Uji Anova dapat kita lihat nilai signifikansi sebesar 0,000 masih kurang dari nilai kritik 0,05 mengindikasikan bahwa perbedaan antara mean revenue dengan ketiga variabel prediktor adalah signifikan secara statistik.

Dari output berikutnya kita peroleh model regresi dari Coefficients, yaitu :

Y = b0 + b1X1 + b2X2 + b3X3 + ...... + bnXn

Revenue = 10,429 + 4,139 (ProdCost) + 6,854 (PromoteCost) + 0,608 (StarCost)

Nilai signifikansi yang terbaik sebagai prediktor adalah variabel ProdCost (0,000) dan variabel PromoteCost (0,000), sedangkan variabel StarCost tidak signifikan secara statistik karena 0,366 lebih besar dari nilai kritik 0,05.

Nilai VIF mengindikasikan masalah multikolinearitas pada model, hasil di atas menunjukkan bahwa model tidak mengandung masalah multikolinearitas dengan nilai VIF berturut-turut untuk X1, X2, dan X3 adalah 1,972; 1,985; dan 1,143. baca kembali mengenai nilai VIF disini.(yoso)
untuk menjalankan analisis regresi linier berganda dengan software Eviews 9, kamu bisa lihat disini.

Read More

MENGATASI MASALAH AUTOKORELASI DENGAN MODEL COCHRANE-ORCUTT

click to get the pdf version

Autokorelasi adalah situasi dimana korelasi terjadi antar rangkaian pengamatan yang tersusun dalam deret waktu atau tempat. Pada regresi OLS, asumsi yang digunakan adalah tidak terdapat autokorelasi pada error. Katakanlah jika pada periode sekarang terjadi pemogokan buruh yang menyebabkan turunnya produksi, maka tidak ada alasan untuk mengasumsikan produksi akan turun kembali pada periode berikutnya. Sama halnya untuk kasus regresi antar data silang (cross section), goverment expenditure daerah X dengan performa usaha kecil menengah di daerah tersebut, maka tidak akan terjadi kasus jika kenaikan performa usaha kecil menengah di daerah X akan berdampak terhadap kenaikan goverment expenditure pada daerah Y.

Autokorelasi dapat menyebabkan prediksi OLS menjadi tidak bias dan efisien, estimator yang bersifat BLUE tidak dapat kita peroleh.

Ilustrasi:

Berikut ini kita akan melihat hubungan antara jumlah produk nasional brutto (gnp) dan data consumer price index (cpi) ekuador, data tahunan terdiri atas 32 pengamatan sejak 1980 hingga tahun 2011, data diperoleh dari data popular indicator yang dikumpulkan oleh World Bank,

Regresi sederhana dengan metode OLS akan kita ilustrasikan menggunakan software eviews 9. Bagi yang belum memiliki software eviews, anda bisa beli versi terbarunya disini, murah koq, cuma 120.000, bisa langsung dipakai lagi tanpa nunggu. Untuk regresi linier berganda (multiple) dengan software IBM SPSS versi 25 bisa kamu lihat disini.

Kita tampilkan datanya dalam eviews,

buka kedua variabel atau spesifikasi persamaan melalui open as equation, lalu masukkan persamaannya regresi seperti berikut ini,

outputnya ditampilkan sebagai berikut,

Kita akan transformasi variabel dengan fungsi logaritma, pilih gdp dan cpi ; open ; as equation,

output untuk model log, masih ada masalah autokorelasi, nilai statistik DW masih dibawah 1,

Kita akan plot data dalam scatterplot, dan plot residual,

Untuk melihat pola data dalam scatterplot open kedua variabel di atas, view - graph, Setelah muncul graph option, pilih scatter, fit lines kita pilih regression line,

Plot dari regresi OLS menggambarkan hubungan negatif gnp dengan cpi, sesuai koefisien regresi, setiap kenaikan satu satuan cpi akan menurunkan gnp sebesar 22,89 satuan. Lihat data tersebar cukup jauh dari garis regresi.

Kemudian kita plotkan fitted residual,

plot residual kita dapatkan,

Secara umum residual tidak tersebar secara merata, melainkan berkumpul pada titik 1 ; 0 ; -1, ini mengindikasikan adanya masalah korelasi antar residual pada persamaan regresi yang kita miliiki. Hal ini kemudian ditegaskan dengan hasil pengujian durbin-watson sebesar 0,498 yang terletak pada daerah autokorelasi positif. (download tabel durbin watson disini)

Untuk koreksi masalah autokorelasi, kita akan lakukan prosedur Cochrane-Orcutt, yang dinyatakan dengan ρ (rho). Metode perulangan dalam cochrane-orcutt dilakukan dengan dua tahapan antara lain; (1) menentukan korelasi ρ antar beberapa pasang pengamatan dalam model, kemudian (2) menjalankan persamaan regresi dengan AR(1) atau sampai AR(2), untuk menghilangkan korelasi antar error.

Oleh karena itu kita akan merubah persamaan menjadi;

Yt = gnpt – rho*gnpt-1,

dan 

Xt = cpit – rho*cpit-1

dengan;

µt = rho*µt-1 + εt

Prosedur iterasi cochrane-orcutt kemudian akan kita lakukan dengan bantuan eviews 9. Bagi yang belum memiliki software eviews, anda bisa beli versi terbarunya disini,

1. Pada data gnp dan cpi, open - as group,

2. Kemudian Proc ; Make Equation,

3. Kemudian Buat persamaan regresi dengan AR(1) ; OK,

4. Output regresi dengan AR(1),

Persamaan regresi dengan AR(1) masih mengandung masalah autokorelasi yang diindikasikan dengan nilai statistik durbin-watson sebesar 0,72. (download tabel durbin watson disini)

Mari kita lihat plot residual, pertama-tama dari output tadi kita membuat variabel residual baru dengan nama resid01 untuk persamaan ini. pada menu proc ; make residual,

Scatterplot untuk resid01,

Dari scatterplot persamaan AR(1), residual masih terkumpul pada beberapa poin axis-Y, gejala autokorelasi masih terlihat, hal ini ditegaskan dengan nilai statistik durbin-watson sebesar 0,73.

5. Kemudian kita masukkan kembali model AR(2) ke dalam persamaan,

6. Output regresi dengan AR(1) dan AR(2),

Nilai statistik durbin-watson telah mengindikasikan model telah terkoreksi dari masalah autokorelasi sebesar 1,75. Keragaman gnp yang dapat dijelaskan oleh cpi telah meningkat menjadi 96.09 persen. Dengan demikian persamaan untuk kondisi yang ideal (white noise) yang kita peroleh dari model AR(2) adalah:

GNP = 2419.87 - 1.09*CPI + [AR(1)=1.74,AR(2)=-0.78,UNCOND]

atau dalam bentuk lain:

GNPt = 2419,87 – 1,09*CPIt + µt

dimana:

µt = 1,74*µt-1 + 0,78*µt-2 + ε

Read More