MODEL PEMROGRAMAN LINIER DAN APLIKASINYA

click to get the pdf version

Banyak masalah-masalah praktis dalam riset operasi dapat dinyatakan sebagai masalah pemrograman linear. Beberapa kasus khusus linear programming, seperti masalah aliran jaringan dan aliran multi-komoditas yang dianggap cukup penting untuk diteliti dengan suatu algoritma khusus untuk meraih solusi. 

Sejumlah algoritma untuk masalah optimisasi lain dioperasikan dengan memecahkan masalah LP sebagai sub-masalah. Secara historis, ide-ide dari pemrograman linear telah menginspirasi banyak konsep pusat teori optimisasi, seperti dualitas, dekomposisi, dan pentingnya kecembungan dan generalisasi. Demikian pula, linear programming banyak digunakan dalam ekonomi mikro dan manajemen perusahaan, seperti perencanaan, produksi, pengangkutan, teknologi dan isu-isu lainnya. 

Walaupun isu-isu manajemen modern yang selalu berubah, sebagian besar perusahaan ingin memaksimalkan keuntungan atau meminimalkan biaya dengan sumber daya yang terbatas. Oleh karena itu, banyak hal dapat dikategorikan menjadi masalah pemrograman linear.

Pemrogramanlinier adalah metode sederhana dimana kita menyederhanakan hubungan yang kompleks antar fungsi linier dengan demikian kita dapat menemukan solusi yang optimal. Contohnya dalam kehidupan sehari-hari adalah ketika kita memilih rute yang paling cepat untuk menuju ke kantor.

Contoh lain adalah sistem delivery barang perusahaan kepada konsumen yang tidak efisien waktu maupun biaya, oleh karena itu kita sederhanakan dengan beberapa penyesuaian agar lebih efisien, nah itulah beberapa jenis pemrograman linier yang tanpa kita sadari juga kita lakukan sehari-hari.

Mari kita ilustrasikan dengan gambar :

Lihat, tukang antar paket ekspedisi JNG (lucu ya namanya, singkatan dari 'jangan' kali ya) kebingungan akan menuju arah mana, lalu ke mana dan ke mana. Jadi atasannya akan menghitung beberapa kombinasi rute yang tepat, dalam arti paling efisien bensin, dan efisien waktu. 

Pada kasus ini, sasaran tukang antar paket tersebut akan diberikan rute terbaik yang disebut Penelitian Operasi (operation research). Penelitian Operasi adalah pendekatan terhadap pengambilan keputusan dengan melibatkan satu atau lebih metode untuk menjalankan sebuah sistem, sistem yang kita bahas adalah sistem delivery. Bisa juga dalam contoh lain sistem shipping, sistem pemeliharaan, sistem perkebunan, dan lain-lain. Tujuannya tetap satu yaitu membuat metode yang efisien untuk segala aspek.

Ilustrasi Sederhana Untuk Pemodelan :

Butik “Diorama” menjual 2 jenis batik tulis untuk seluruh produk bajunya, yaitu batik cirebon dan batik Kendal (emang ada???ga apa deh), untuk produksi batik Cirebon memerlukan 2 gelas lilin batik dan 1 gelas zat pewarna, sedangkan batik kendal menghabiskan 3 gelas lilin batik dan 2 gelas zat pewarna. 

Dapur produksi Butik “Diorama” memiliki bahan baku 18 gelas lilin batik dan 10 gelas zat pewarna, sedangkan keuntungan yang diperoleh dalam penjualan batik adalah sebagai berikut : 

Rp, 50.000,- setiap menjual batik Cirebon 

Rp, 60.000,- setiap menjual batik Kendal 

Untuk memaksimalkan keuntungan, berapa banyak produk yang harus dihasilkan antara Batik Cirebon dan Batik Kendal??? 

Pertama kita susun terlebih dahulu tabel dari data secara keseluruhan. 

	Lilin batik	Zat pewarna	Profit per unit
Batik Cirebon	2	1	50000
Batik Kendal	3	3	60000
Total Bahan	18	10

Kita nyatakan total produksi unit Batik Cirebon sebagai X, dan total produksi unit Batik Kendal sebagai Y, serta total profit per unit sebagai Z. 

Total Keuntungan maksimal dari kedua produk dapat dinyatakan sebagai : 

Zmax = 50.000X + 60.000Y 

Persamaan untuk lilin batik yang digunakan untuk produksi Batik Cirebon dan Batik Kendal dengan total bahan 18 adalah : 

2X + 3Y < 18 

Persamaan untuk zat pewarna yang digunakan untuk produksi Batik Cirebon dan Batik Kendal dengan total bahan 10 adalah : 

X + 3Y < 10 

Maka jika menggunakan lilin batik untuk memproduksi 3 unit batik Cirebon, maka tinggal 4 unit batik Kendal yang bisa kita produksi dengan persamaan di atas. 

Dengan batasan : 

X > 0 dan Y > 0 

Maka untuk memaksimalkan keuntungan, model Matematika di atas dapat diterapkan oleh Butik “Diorama”.

Beberapa komponen penyusun Pemrograman Linier antara lain :

• Variabel Keputusan ; variabel yang akan menentukan output. Biasa dinyatakan dengan X, Y, Z, atau apa saja,
• Fungsi Objektif ; adalah sasaran dalam pengambilan keputusan, jika perusahaan ingin memaksimalkan keuntungan dengan notasi Z, maka keuntungan adalah fungsi objektif. Lain halnya jika ingin mengejar target produksi, maka jumlah output produksi merupakan fungsi objektif.
• Constraints ; adalah batasan pada variabel keputusan. Biasanya batas nilai dari variabel keputusan. Misalnya dalam proses produksi, jumlah bahan baku adalah pembatas untuk melakukan produksi.
• Batasan Non-Negatif ; dalam pemrograman linier, variabel keputusan tidak boleh bernilai negatif, seharusnya lebih besar dari 0.

Ketika variabel keputusan, fungsi objektif, dan constraints terpenuhi serta bisa disusun dalam bentuk fungsi linier, maka permasalahan ini dapat dimasukkan ke dalam kategori permasalahan pemrograman linier.

Ilustrasi Pemrograman Linier :

Misalkan seorang petani memiliki sebidang tanah pertanian, misalnya seluas 120 hektar, yang akan ditanam dengan gandum atau kedelai atau kombinasi dari keduanya. 

Petani hanya memiliki modal yang terbatas, yaitu Rp. 10.000.000,- pupuk NPK (P) dalam jumlah terbatas yaitu 1.400 kg,

Misalkan keuntungan penjualan kedelai per adalah Rp.60.000,- dan gandum adalah Rp.120.000,- 

Maka dengan tabel, nilai yang diketahui

:

Varietas	Keuntungan/Ha	Biaya/Ha	Pupuk/Ha
Kedelai	60	100	10
Gandum	120	200	30

Total Area Penanaman Kedelai = X (hektar)

Total Area Penanaman Gandum = Y (hektar)

Maka X dan Y adalah variabel keputusan.

Fungsi Objektif Petani adalah memaksimalkan keuntungan, dengan keuntungan dinyatakan sebagai Z, maka

Max Z = 60X + 120Y

Constraints yang dihadapi adalah biaya tanam dan pupuk, maka jika petani hanya memiliki modal sebesar Rp.10.000,- :

100X + 200Y < 10.000

Constraints selanjutnya adalah jumlah pupuk yang dimiliki sebesar 2 ton :

10X + 30Y < 1.000

Constraints terakhir adalah jumlah lahan tersedia hanya 120 Hektar :

X + Y < 120

Batasan non-negatif dari persamaan di atas adalah :

X > 0, Y > 0

Berikutnya kita akan menyelesaikan kasus di atas dengan grafik.

Kita sederhanakan terlebih dahulu persamaannya seperti berikut :

Constraints 1 :

100X + 200Y < 10.000 / 100

Maka :

X + 2Y < 100

Constraints 2 :

10X + 30Y < 1.400 / 10

Maka :

X + 3Y < 140

Constraints 3 sudah dalam bentuk sederhana :

X + Y < 120

Kita Plot Ke dalam Grafik :

Setelah kita plot grafik untuk ketiga persamaan, maka slope masing-masing persamaan kita hubungkan, maka solusi optimal bagi petani berdasarkan plot adalah pada axis 45 dan ordinat 27.

Jadi untuk memaksimalkan profit petani dapat menanami kedelai seluas 45 Hektar dan Gandum seluas 27 Hektar.

Profit Maksimal yang dapat diperoleh adalah :

Max Z = 60X + 120Y

Max Z = 60 (45) + 120 (27)

Max Z = 2.700 + 3.240

Max Z = 5.940 (dalam ribuan Rupiah)

Read More

UJI RELIABILITAS DATA DENGAN TEKNIK SPLIT HALF DAN CRONBACH ALPHA

click to get the pdf version

Reliabilitas statistik diperlukan untuk memastikan validitas dan ketepatan analisis statistik. Ia mengacu pada kemampuan untuk mereproduksi hasil lagi dan lagi sesuai kebutuhan. Hal ini penting karena akan membangun tingkat kepercayaan dalam analisis statistik dan hasil yang diperoleh.

Misalnya, Anda sedang meneliti tentang loyalitas konsumen terhadap produk susu merk tertentu. Anda ingin melakukan sejumlah survey terhadap pelanggannya, dan jika hasil yang ditemukan menunjukkan bahwa konsumen bersikap loyal, Anda mungkin akan mendapatkan gambaran pasti bahwa produk lain yang dikeluarkan oleh perusahaan susu tersebut akan tetap laku di pasaran.

Sebaliknya, jika nilai reliabilitas statistik loyalitas konsumen rendah, maka konsumen tidak akan percaya dengan produk-produk yang dikeluarkan oleh perusahaan tersebut.


4 metode yang dikenal dalam mengevaluasi reliabilitas sebuah instrumen :

• Teknik Split-Half; menggunakan formula Kuder-Richardson 20 (KR-20) atau formula Spearman-Brown. Item yang dinyatakan dengan skala pada kuesioner dibagi menjadi dua, dan hasil dari masing-masing item tersebut dikorelasikan. Angka koefisien korelasi yang tinggi antar item menunjukkan konsistensi yang tinggi pada nilai reliabilitas. Kekurangannya adalah pada bagaimana pembagian dilakukan, untuk mengatasinya maka digunakan koefisien alpha atau cronbach yang biasanya digunakan dalam uji reliabilitas,
• Teknik Test-Retest; responden diminta mengisi skala item pada dua waktu yang berbeda dengan situasi yang kurang lebih sama, derajat kesamaan antara dua pengukuran ditentukan dengan menghitung koefisien korelasi. Semakin tinggi koefisien korelasi, maka semakin tinggi pula reliabilitasnya.
• Teknik Inter Rater Reliability; juga dikenal sebagai rater agreement. Teknik ini membantu kita mengerti apakah dua atau lebih penilai atau pewawancara menggunakan bentuk kuesioner yang sama terhadap dua responden yang serupa.
• Teknik Internal Consistency Reliability; Dalam analisis reliabilitas, konsistensi internal digunakan untuk mengukur reliabilitas dari penjumlahan skala dimana beberapa item ditotalkan terlebih dahulu. Pengukuran ini terpusat pada konsistensi internal dari item-item yang ditanyakan kepada kuesioner.

Asumsi yang digunakan dalam Uji Reliabilitas :

• Error tidak terkorelasi,
• Koding dalam item pertanyaan harus memiliki makna yang sama berlaku untuk seluruh item pertanyaan,
• Dalam teknik Split-Half. Penunjukan subjek yang dibagi diasumsikan dibagi secara acak, dan keragaman harus diasumsikan sama untuk setiap jawaban responden.

TeknikSplit-Half KR20

Metode ini akan memberikan gambaran seberapa konsisten pengukuran kamu dalam bentuk kuesioner untuk menilai jawaban responden. Kita akan memisahkan poin pertanyaan yang diukur menjadi beberapa bagian dari kuesioner, dan pada akhirnya menghitung reliabilitas secara terpisah untuk setiap bagian. Formula Split-Half KR20 akan lebih tepat jika digunakan untuk tipe kuesioner dengan jawaban “iya” atau “tidak” dan pertanyaan dengan tipe multiple choice. Teknik ini tidak tepat diterapkan pada jawaban kuesioner dengan skala likert. Jika menggunakan skala likert (misal : 1 - 5) kamu bisa gunakan formula split half Spearman-Brown.

Formula yang digunakan adalah KR-20,

dimana :

r_KR20 = formula 20 Kuder-Richardson

k = jumlah total item tes

𝛴 = penjumlahan

p = proporsi pengambil tes yang lolos

q = proporsi pengambil tes yang gagal

σ² = keragaman dari seluruh proses tes

Ilustrasi :
Seorang guru ingin melihat nilai Reliabilitas dari soal-soal yang ia susun di kelas, untuk itu ia mengevaluasi jawaban dari 15 orang siswanya untuk diuji setiap item soalnya. Nilai 1 menyatakan jawaban benar, sementara itu nilai 0 menyatakan jawaban salah, berikut data yang telah ia susun. 

Untuk data dalam bentuk excel sebagai latihan dan bahan coba-coba bisa kamu ambil disini.

Lihat skor pertanyaan yang disusun oleh guru tersebut, langkah berikutnya teknik Split Half dengan excel adalah menjumlahkan jawaban yang bernilai 1 atau benar untuk tiap-tiap pertanyaan, kemudian menentukan proporsi siswa yang menjawab benar. Proporsi dihitung dengan membagi jumlah siswa dengan jawaban benar terhadap jumlah seluruh siswa,

Jika siswa yang menjawab benar dinyatakan dengan p, maka siswa yang menjawab salah dinyatakan dengan q, kita akan cari proporsi siswa yang menjawab salah dengan mengurangkan 1 dengan proporsi siswa yang menjawab benar,

Lihat kembali dalam rumus, kita akan mencari 𝛴pq dimana artinya kita akan mengalikan proporsi p dan proporsi q, kemudian kita jumlahkan secara keseluruhan

Setelah diperoleh nilai p*q maka "

𝛴pq = 0,24+0,24+0,25+0,24+0,16+0,24+0,25+0,25+0,25+0,25 = 2,37

Terakhir kita akan mencari nilai σ² atau standar deviasi, untuk menghitung standar deviasi kita totalkan terlebih dahulu skor total masing-masing anak di samping kanan, 

selanjutnya nilai σ cari sendiri ya, tidak akan dijelaskan disini, atau kamu bisa lihat bahasan dan cara menghitungnya disini.

Nilai σ yang kita peroleh dari total nilai siswa adalah 1,96, maka σ² = (1,96)² = 3,84

Maka nilai yang telah kita peroleh akan kita masukkan ke dalam rumus KR-20,
Diketahui : k = 10; 𝛴pq = 2,37; σ² = 3,84

Maka :

r_KR20 = 0,42 = 42%

Dengan teknik split half KR20, diperoleh nilai reliabilitas sebesar 42%, hal ini menunjukkan bahwa kehandalan pertanyaan yang disusun oleh guru tersebut kurang baik.

Teknik Split Half Spearman-Brown

Jika anda memiliki kuesioner dengan mode skala likert, dimana skala terentang dari 1 - 4 atau 1 - 5, anda dapat menggunakan teknik reliabilitas Spearman-Brown dengan formula :

dimana :
r_hh = koefisien korelasi Pearson 

Ilustrasi :
R&D Mall "Cipete" ingin mengetahui tingkat kepuasan pengunjung Mall terhadap pelayanan karyawan mall dan gerai yang ada di dalamnya. Ia menyediakan beberapa pertanyaan dalam bentuk kuesioner, skala yang digunakan adalah skala Likert 1 - 5, dimana 5 = sangat puas; 4 = puas; 3 = kurang puas; 2 = tidak puas; dan 5 = kecewa. Berikut ini adalah jawaban yang dikumpulkan dari 16 kuesioner secara acak terhadap responden yang merupakan pengunjung Mall.

Langkah pertama dari teknik Split Half adalah membagi item pertanyaan kuesioner menjadi 2 bagian, kemudian kita totalkan jawaban dari setiap pengunjung,

Setelah kita peroleh nilai total setengah pertanyaan yang dibagi dua, kita akan lakukan prosedur korelasi dengan formula Pearson :

dimana :

dengan demikian kita lihat nilai X dan Y, pada gambar berikut ini;

Setelah didapat semua nilainya, maka kita cari masing-masing nilai di dalam rumus korelasi pearson,

Dengan demikian sudah kita peroleh semua yang dibutuhkan dalam formula korelasi Pearson diantaranya :

Dengan memasukkannya ke dalam formula korelasi Pearson :

r_XY = 15,63 / 53,68

r_XY = 0,29

Setelah diperoleh koefisien korelasi Pearson, kita masukkan lagi ke dalam formula Split Half Spearman-Brown :

r_SB = 2(0,29) / 1 + 0,29

r_SB = 0,44

Pengukuran reliabilitas kuesioner tidak memberikan hasil dengan tingkat kehandalan yang tinggi, dengan nilai reliablilitas hanya sebesar 0,44, oleh karena itu perlu dilakukan evaluasi terhadap item-item dalam kuesioner. kamu bisa download hasil analisisnya dalam bentuk excel disini.

Berikutnya kita coba lakukan analisis dengan menggunakan software IBM SPSS versi 25, bagi yang belum punya, bisa beli disini versi terbarunya.

Tahap pertama, hasil kuesioner tadi kita input ke dalam software SPSS versi 25, kalau saya langsung aja copy-paste ke IBM SPSS, kamu bisa ambil datanya dalam bentuk excel disini

Lihat pada data, variabel saya ganti menjadi item di variable view, lalu untuk prosedur uji reliabilitas langsung aja pilih di Menu Analyze - Scale - Reliability Analysis,

dalam kotak dialog Reliability Analysis, pindahkan semua item ke kolom items, lalu kita coba dengan  metode cronbach alpha, kemudian klik statistics,

Di kotak dialog statistic, checklist aja seperti gambar berikut,

Outputnya akan ditampilkan seperti berikut;

Lihat nilai Cronbach Alpha sebesar 0,436 tidak jauh beda dengan hasil teknik split half Spearman-Brown yang kita hitung manual dengan excel di atas kan???(yoso)

Read More